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假設承受均布荷載的懸索,最初始的形狀是 a 圖這種倒三角形。因為是對稱結構,所以取它的一半進行分析。如 b 圖所示,類似微積分的概念,近似把這一半均勻分為 6 份,每份荷載相同。c 圖是這種情況下的力多邊形,而 d 圖中的紅色折線就是這一組力的索多邊形。以這條紅色折線為幾何構形,我們得到 e 圖所示的懸索。因為考慮的是均布荷載,所以不需要再二次迭代了,再迭代一次的結果只會是同樣的這條紅色折線。因此,紅色折線就是均布荷載下的最優懸索,不承受彎矩,只承受拉力。注意,這個不是懸鏈線,而是一條拋物線,因為它承受的是均布荷載,而不是自重。
關于懸鏈線的數學認知,說起來也很有代表性,人類對于知識的認知就是這樣的漸進式的過程。亞里士多德認為拋出物體的運動軌跡是先直線,然后再下落。伽利略意識到亞里士多德錯了,得出了正確的拋物線的表達式,但是,伽利略錯誤的認為一條懸鏈自然下垂,得到的也是一條拋物線。隨后,容吉烏斯指出,在受水平向均布荷載的情況下,懸鏈的形狀才是拋物線,也就是我們上面 e 圖的情況。由于懸鏈的自重是沿曲線方向分布的,水平方向的荷載分量并不均布,所以自然懸鏈不是拋物線。雖然容吉烏斯指出了伽利略的錯誤,但他沒能找到正確的答案。直到 1691 年的一次數學競賽中,萊布尼茨、惠更斯和約翰·伯努利才各自獨立得出了正確的懸鏈線的數學表達形式。
當然,制約懸索橋跨度和安全性能的不僅僅是豎向荷載,還有側向的抗風設計。1940 年,美國塔克馬海峽大橋在風中坍塌,引起了工程學界對抗風設計的重視。今天的懸索橋,技術水平已經達到了很高的程度。目前最長跨度的懸索橋是日本的明石海峽大橋,主跨 1991 米。其原設計為 1990 米,但 1995 年的阪神大地震震中距大橋只有 4 公里,導致正在建設中的兩側橋塔之間的水平距離增加了 1 米。
從懸索的數學推導,到驚人的主跨接近 2000 米的大橋,這就是一條從簡單理論模型到復雜實際設計的道路。數學理論和力學理論如何指導實際的工程設計,這就是一個很好的例子。而所謂工程師,就是能夠優雅簡潔的完成這一過程的人。